数学

教科書の紹介

微分積分

○「微分積分学」伊藤雄二著　朝倉書店
高校でも理系であれば微分積分は習うと思います。この本は高校レベルの数学知識を前提に、大学生が入学してからすぐに勉強するようなレベルの内容になっています。高校での微分積分の場合、図などを使用して視覚的に理解することが多かったと思いますが、それだけではあまり厳密に理論を展開することができません。大学のレベルになると、そのあたりをもっと厳密に議論することになります。極限の定義をもっと厳密に行い、それによって数列が収束するか発散するかの判定を行ったり、三角関数などを数列の極限で定義したりします。
そのような厳密な立場から、微分積分のもっとも基本となるところや、応用性のある部分を特に丁寧に説明しているようです。ただ、重積分の解説などでは一部、厳密に考えると説明の付かない部分があるようです。（立体の面積や体積を求める際の特異点に関する扱い等）これはルベーグ積分論など理解すればある程度カバーできますが、実用上は、実際に面積や体積を求める手順を理解することの方が重要なので、本書ではそこまで言及していないようです。微分積分のような分野は、対象が具体的で、ある程度分かりやすい分野だと思います。これが代数学とかになってくると大変ですぅ。

誤植が少々あるようですが、下記を参照してあらかじめ修正しておけば問題ないと思います。

誤植？かも。。。（第７版にて）

�@P17 :例10.2
「紙数」→「級数」

�AP198:(44.11)の式
右辺のΣの上の文字「p」→「m」

�BP198:例44.7
例44.7の3行目の右辺第２項「(Dif)rcosθ」→「(Dyf)rcosθ」

�CP201:(45.6)の式
右辺の第２項に

「(x1-x1^0)(x2-x2^0)・・・(xn-xn^0)」

（ただし「x1^0」は変数xの右下に1の添え字、右上に0の添え字があることを示す）とありますが、これを

「(x1-x1^0)^i1 (x2-x2^0)^i2・・・(xn-xn^0)^in」

（ただし「^i1」はカッコ内をi1乗するという意味で、i1は変数iの右下に1の添え字があることを示す）という風にします。つまりカッコ内をそれぞれi1乗やi2乗するということです。

�DP201:(45.7)の式
�Cと同様に右辺の
「(x1-x1^0)・・・(xn-xn^0)」

を

「(x1-x1^0)^i1・・・(xn-xn^0)^in」

とします。

�EP242:定義54.3
「集合D⊂R^3が」→「集合D⊂R^2が」

◎「ルベーグ積分」溝畑茂著岩波書店
ルベーグ積分とは普通の積分（リーマン積分と言う）を拡張し、もっと広い範囲の関数について積分が計算できるように工夫したものです。たとえば、ある実数値関数（引数と関数値が共に実数である関数）で、ある１点のみ、そこでの関数値が定義されていないものがあるとして、その関数の積分を厳密に定義したいとき、このルベーグ積分の考え方が必要となります。積分は面積や体積を計算したりすることが多く、感覚的に考えれば、１点が抜けているからといって、面積や体積が変わることはありません。ですから、実際の計算結果というよりも、数学的にそれをどううまく説明するか、という点が問題となるわけです。
本書はルベーグ積分を順序だてて分かりやすく説明しており、最初のいくつかの定義などをちゃんと理解できれば、あとは同じようなパターンでいろいろな関数の積分を次々と理解していくことができるようになっています。また、リーマン積分でも「広義積分」という積分の拡張をします。前述の「微分積分学」や集合論を理解できていれば、よりスムーズに理解できるのではと思います。

△「解析概論」高木貞治著岩波書店
微分積分とルベーグ積分の範囲について記述されています。著者は文化勲章を受章した有名かつスバラシイ数学者で、本書は旧版が出版されて以来、日本語で数学書を書く際のお手本となってきました。説明文の言い回し等、多少古くさいところもありますが、それが却って日本人的な考えの筋道に沿っているとも言え、それなりの良さがあると思います。図なども多く分かりやすいと思います。有名な「高木関数」（いたるところ微分不可能な連続関数）は1903年に著者が考え出したものです。

○「多変数解析学」スピヴァック著齋藤正彦訳東京図書
多変数関数の微分積分について、さらに厳密に定式化して理解するための理論が述べられています。上記「微分積分学」の重積分などで厳密に述べきれなかった個所などをカバーするのに良いと思います。また、あらかじめ集合・位相論を理解しておく必要があると思います。

線形代数

◎「新版線形代数」宇麼谷教明・竹内康滋・廣森勝久共著培風館
線形代数とは、言ってみればベクトルとか行列とかを扱うものです。高校では私のころは主に2x2行列の性質について、いろいろとやっていました。この本では高校のレベルを前提に、一般の行列（4x3や5x5とか）の性質を分かりやすく解説しています。行列式の一般的な定義や、階数、固有値や固有ベクトルについて、段階を追って学べます。
数値計算や回路設計のソフトで「matlab」（マトラブ、マットラブ）というのがありますが、そのソフトで行列をいぢって遊んでみたい！という人が万が一いらっしゃれば、この本は行列の基礎知識を身に着けるという意味で、よいのではないでしょうか。また、これも誤植が少々あるようです。

誤植？かも。。。（新版第10刷にて）

�@P43:2行目の式の右側の説明
「Aijは(nI,nJ)型」→「Xijは(nI,nJ)型」

�AP57:定理2.1.4の証明
証明の6行目「命題1.2.1の証明から」→「補題2.1.2の証明から」

�BP112:ページ先頭の(H*)に関する式
「0=0」の個数が「m-r個」→「n-r個」

�CP131:ページ後半の「F(x,y,z)=・・」の式に関するAの説明
行列Aの(1,3)要素「e/2」→「f/2」
行列Aの(2,3)要素「f/2」→「e/2」
行列Aの(3,1)要素「e/2」→「f/2」
行列Aの(3,2)要素「f/2」→「e/2」

�DP131:ページ後半の「F(x,y,z)=・・」の式に続く説明文
「(*)式を用いて」→「(**)式を用いて」

�EP164:ページ最初の(2)の行列
(1,2)要素「1/root2」→「i/root2」
(2,2)要素「i/root2」→「1/root2」

�FP182:ページ前半、「F(x,y,z)=・・」に関する式の右辺
「[xyz]・・・」→「[XYZ]・・・」

�GP183:ページ中ほど、「x''=・・・」(xは太字)に関する式
縦ベクトルの各要素を太字から通常の字体にもどす。
「x''」（xは太字）→「x''」
「y''」（yは太字）→「y''」
「z''」（zは太字）→「z''」

�HP186:問6.1
「命題3.6.1において」→「命題4.6.1において」
「x'=t+T'xとすれば」→「x'=t'+T'xとすれば」
「t=-Tt、T'=T^-1であることを」→「t'=-Tt、T'=T^-1であることを」

�IP194:(1-2)および(1-3)の文章
「たとえば・・・α3>0で」→「たとえば・・・α3<0で」

集合論

◎「集合・位相入門」松坂和夫著岩波書店
集合論とは、簡単に言えば、ものの集まりの性質を数学的に考えたものです。高校でも集合というのを習ったと思いますが、集合論というのは、考察の対象を数という概念に限定せず、それよりも広い、抽象的な概念でいろいろなことを考える学問です。
現代の数学では、いろいろなことを集合を使って定義したり説明する場合が多いと思います。ですから集合論が理解できれば、いままで習った他の数学の理論が、集合論での理論の特殊な場合として捉えられる場合が多々あります。集合論を基礎に、いろいろな分野の数学が構築されていることが分かってきます。集合論を勉強することは、数学の抽象的な分野に一歩踏み出したことになり、高校までの数学とは明らかに、ちょっと違う印象をもたれる方もいるかもしれません。

集合・位相入門は、初めて集合論を勉強される方に向いていると思います。解説がすごく丁寧で、誤解や混乱しやすい個所はしっかりサポートされているので読んでいて安心感があります。

誤植？かも。。。（第31刷にて）

�@P135:23行目の文章
「(x1,・・・xn,x)が1次従属」→「(x1,・・・xn,y)が1次従属」

複素解析／複素関数

◎「複素関数要論」青木利夫・樋口禎一共著培風館
複素関数論とは、解析学で学ぶような関数の性質を、複素数(実数+虚数)の範囲にまで拡大して考えるものです。高校でも複素数を習ったと思いますが、それらを使って微分や積分をしたり、複素関数の性質を細かく調べたりするのが主な内容です。
中でも留数定理と呼ばれる、積分を計算するときに大事な定理は、数学以外でも応用が利くので広く使われているようです。また、そのままでは計算できない実積分も、複素関数の積分と捉えなおせば計算できてしまうことがあり、不思議な感じがします。複素関数を勉強すると、まずこの留数定理を理解するための筋道を順番に数学的に理解していく流れになると思います。

本書の場合、重要な部分を効率よく簡潔に説明しているので、比較的読み進めやすいと思います。ページ数も150ほどなので、何か気楽な感じがします。実数の微分積分や、位相論を理解していると、より早く理解が進むと思います。

誤植？かも。。。（初版第23刷にて）

�@P5:問題6
問題の前提条件として「|α|=1」が漏れている。

△「複素解析」高橋礼司著東京大学出版会
複素関数論を一通り理解された方が読む方がよいと思います。理論の展開の仕方も、上記「複素関数要論」と異なるところがあり、いろいろな考え方ができるんだということが分かると思います。また、歴史的な発展を踏まえた記述もあり、読み物としても配慮されているようです。

代数学

◎「代数系入門」松坂和夫著岩波書店
代数学は集合の要素に対して、普通の数と同じように演算（足し算、掛け算、その他）を考え、その集合と演算を組み合わせたもの（群、環、体などと呼ばれる）の性質を探る分野です。代数学も数学の抽象的な分野で、最近の数学は主にこのような抽象的な分野で研究されています。というのも、数学の難しい問題を解くとき、その問題をそのまま考えるよりも、いったん抽象的な概念に捉えなおして、その抽象的なレベルで考察をすすめ、その結果を再び具体的なものに当てはめて考えると解決する場合があり、このような抽象的な分野の研究が非常に役に立つからです。
最近証明されたフェルマーの最終定理（フェルマー・ワイルズ・テイラーの定理）も、問題の見た目は簡単ですが、それをそのまま解くことは難しく、代数学などの抽象的な理論やアイデアを駆使して証明されたものです。

本書は、前述の「集合・位相入門」の著者によるもので、「集合・位相入門」の姉妹書となっています。ですから続けて読めば、これらの抽象的な概念を一通り系統だてて理解することができると思います。

○「群論への30講」志賀浩二著朝倉書店
代数学の一分野である「群論」について、数学をあまり知らない人でも興味をもって読めるように、解説したものです。定理とその証明を単に並べるのではなく、目に見える身近な例（対称図形：シンメトリー、立方体の回転など）から一般論へ発展させていく手法で、群論のコンセプトなどがよく分かります。
また、各章の終わりにTeaTimeがあり、素朴な疑問やそれに対する回答(解答ではなく)を通して、群論の考え方に共感がもてるような構造になっていると思います。問題などは付属していないので、勉強というよりは興味本位で気楽に読むような本になっていると思います。また、単純群と呼ばれる群についての最近のトピックなどもあり、興味が湧く内容になっています。

△「代数学」長尾汎著朝倉書店
代数学の各定理や証明をまとめたものです。単独で読み進めるには結構難しい内容となっているので、他の本を読みながら辞書代わりに使うのでもいいかな、と思います。

微分方程式

○「常微分方程式」高野恭一著朝倉書店
常微分方程式とは1変数の微分方程式のことです。微分方程式というのは、式の中に関数の微分が入っている方程式です。
微分方程式は科学のいろいろな分野で顔を出します。物理現象を解明したりするのにも使われます。実験で観測したデータから方程式を作ると、それが微分方程式になっていて、それを解くことにより、法則がより明らかになるという形が多いと思います。

本書はいろいろ種類の微分方程式を解説しており、実際に物理などで役に立つ記述が多いと思います。手法だけでなく、理論や証明などもきっちり理解したい場合は、微分積分や線形代数、および複素関数についての知識が必要になると思います。

誤植？かも。。。（初版第1刷にて）

�@P29:定理4.6.（コーシーの存在定理）
「・・が区間I'=[z-r',a+r']」→「・・が区間I'=[a-r',a+r']」

�AP30:17行目の式
「|xm(t)-xm(t')|<δ」→「|xm(t)-xm(t')|<ε」

関数解析

△「関数解析」増田久弥著裳華房
関数解析という分野は、いわゆる「無限次元(!?)の空間での写像のいろいろな性質を調べる」学問で、物理の量子力学などの基礎を説明するのに必要な理論ともなっています。ちなみに写像のことを関数解析では作用素と言ったりします。数学的の中でも比較的新しい分野で、それだけに高度な理論と言えると思います。

本書はその中で基礎的な部分を記述していて、ある程度入門用として取り組むには良いのではないかと思います。ただし、関数解析自体が結構難しいので、前提知識として微分積分、線形代数、複素関数、常微分方程式、ルベーグ積分などが必要となります。
また、記述の中に特に説明なしで使われている記号などがあります。これは関数解析独自のものではなく、上記の前提となる分野で普通に使われている記号なので、それにも慣れておく必要があると思います。

確率統計

△「確率・統計入門」小針?宏著岩波書店
確率統計は高校でもいろいろ習ったと思います。高校で習ったものでは、一部の限定された条件での確率を求めたり、推定計算したりしていましたが、現実にはこれだけでは処理できない問題もたくさんあります。
確率・統計論を勉強すれば、いろいろ複雑なケースで確率を求めたり、テストなどで良く使われる偏差値の仕組みを理解する、あるいはコンピュータのシミュレーションを作ったりするのにも役に立つのではないかと思います。

本書は確率統計に関して、いろいろなモデルを別個にとらえるのではなく、ある程度順を追って理解を進められるように配慮されていると思います。また著者がユニークな方で、説明文や問題文を読んでいると、面白い教授の授業を聞いているような感覚になります。著者のセンスに合う方であれば、スムーズに読み進めることができると思います。

マッカロのナンバーマシン

第１章「奇妙なナンバーマシン」

第２章「マシンの操作規則」

第３章「クレイグの疑問」

第４章「奇妙なパズル(1)」

第５章「マシンの改良」

第６章「奇妙なパズル(2)」

第７章「最後の規則」

第８章「奇妙なパズル(3)」

第９章「新たな展開」

第10章「マッカロのナンバーマシン」